Рубрика: Как извлечь корень из комплексного числа

Как извлечь корень из комплексного числа

Начнем со сложения. Аналогичным образом мы можем найти разность двух комплексных чисел: Перейдем к умножению. С операцией деления все немного сложнее. Но какое из двух? Мы не можем сказать "положительное", потому что понятия "положительное" и "отрицательное" не определены для мнимых чисел. К счастью, оказывается, что беспокоиться не о чем.

Роль и в сообществе комплексных чисел совершенно симметрична: и - два одинаковых корня из Эта симметрия приводит к тому, что у каждого комплексного числа есть "близнец". Такие "близнецы" называются комплексно-сопряженными или просто сопряженными числами.

В случае, когда , т. В году идея Весселя и Гаусса настолько прозрачна, что можно только удивляться, почему никто из ученых не додумался до нее раньше. Точно так же мы можем представить чисто воображаемые числа точками на числовой оси: точка с координатой , и умножением на легко находится в уме.

Но не одновременно! Это была основная идея Весселя и Гаусса. Для наглядности выберем положительное направление вещественной оси вправо, а мнимой оси - вверх. Пусть единица масштаба на обеих осях будет одинаковой. Но как быть с комплексами? Теперь мы можем смело утверждать, что каждой точке плоскости соответствует одно вполне определенное комплексное число. Таким образом, между точками плоскости и комплексными числами существует соответствие один-к-одному.

Что это нам дает? Затем построим на них параллелограмм. Из рис. Применим этот результат к геометрической интерпретации сложения комплексных чисел. Но этого недостаточно. Чтобы избежать этой неопределенности, введем понятие направления измерения угла, и, как следствие, отрицательных углов. В этом случае для числа z на рис. Итак, мы научились однозначно определять направление вектора. Но это оказывается неудобным по другим причинам. А для нуля аргументом вообще является произвольное число.

Следовательно, где - аргумент комплексного числа z. В скобках нетрудно узнать выражения для косинуса и синуса суммы двух углов. Нетрудно доказать, что при делении нужно выполнять обратные операции: делить модули и вычитать аргументы. Как мы убедились, тригонометрическая форма обозначения комплексного числа не менее полезна, чем обычная. <Вопрос лишь в том, когда использовать ту или иную форму. Итак, у нас есть два корня, и оба они вещественные, и они именно такие, как вы ожидали. Первый из них - обычный вещественный кубический корень из 1. Два других не столь очевидны, например, квадратный корень из 1. Здесь модуль равен 1, а аргумент - 1. Согласно формуле 0 и 1, мы получаем два корня: и.

.

Навигация

About Author


Tojacage

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *