Рубрика: Дифференцирование сложной функции нескольких переменных

Дифференцирование сложной функции нескольких переменных

Случай одной независимой переменной. Найдите , если , где . По формуле 1 имеем: Пример. Найти частную производную и общую производную от , если . По формуле 2 получаем. Случай нескольких независимых переменных. Этот случай сводится к предыдущему, где x играет роль t.

Следуя формуле 3, имеем:. Последняя формула называется формулой полной производной. Ее частные производные и могут быть найдены по формуле 3 следующим образом. Фиксируя v, подставляем в нее , соответствующие частные производные. Таким образом, производная сложной функции z по каждой независимой переменной и и v равна сумме произведений частных производных этой функции z по ее промежуточным переменным x и y на их производные по соответствующим независимым переменным u и v.

Во всех рассмотренных случаях формула для свойства инвариантности суммарного дифференциала справедлива. Применяя формулы 4 и 5, получаем: Пример. Покажите, что функция удовлетворяет уравнению. Функция зависит от x и y через промежуточный аргумент , поэтому Подставив частные производные в левую часть уравнения, получим: Т. Производная функции в данном направлении. Если функция z дифференцируема, то справедлива формула , где - углы между направлением l и соответствующими координатными осями.

Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении. Найдем частные производные функции и их значения в точке P. Теорема Они, в свою очередь, вызовут приращение функции z. По формуле Ее частные производные можно найти по формуле Фиксируя v, подставляем в нее соответствующие частные производные по той же формуле: Таким образом, производная сложной функции z по каждой независимой переменной u и v равна сумме произведений частных производных этой функции z по ее промежуточным переменным x и y на их производные по соответствующим независимым переменным u и v.

Пример Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных. Так как x и y - независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая - сохранять свое значение. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, см. Дифференциал и производная числовой функции одной переменной. Таблицу производных. Для того чтобы функция f x была дифференцируемой в данной точке x , необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке.

Это значение называется частичным приращением функции z относительно x. Пусть для данной точки x, y это отношение является функцией Определение. Отсюда следует, что правила вычисления частных производных те же, что и правила, доказанные для функции одной переменной.

Так, функция не является непрерывной в точке 0 0,0. Однако в этой точке функция имеет частные производные по x и по y. Dx, Du стремятся к нулю, когда Dx и Du стремятся к нулю.

В любой точке y,y и для любых Dx и Du имеем Здесь. По определению, эта функция дифференцируема в любой точке плоскости xOu. Заметим, что наши рассуждения формально не исключают случай, когда приращения Dx, Du или даже оба равны нулю. Формулу 1 можно записать более компактно, если ввести выражение для расстояния между точками. Используя его, мы можем написать Обозначив выражение в скобках через e, имеем где c зависит от G, Du и стремится к нулю, если G равно 0 и Du равно 0, или, короче говоря, если p равно 0.

Эти достаточные условия дифференцируемости функций нескольких переменных выражаются следующей теоремой. Теорема c. Рассмотрим функцию Частные производные Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных Необходимые условия дифференцируемости функции Достаточные условия дифференцируемости функций нескольких переменных Полный дифференциал. Частичные дифференциалы Производные сложной функции Она определена всюду.

Предположим, что мы имеем дело с комплексной функцией.

Предположим, что D0. Полный дифференциал. DU, которые при Azh 0 и Au --" O являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем члены линейной части. Поэтому если dz F 0, то линейная часть приращения дифференцируемой функции называется главной частью приращения функции и используется приближенная формула, тем более точная, чем меньше по абсолютной величине будут приращения аргументов.

Производные сложной функции 1. Предположим, что функция определена в некоторой области D на плоскости xOu, и каждая из переменных g, y является в свою очередь функцией аргумента t: Предположим, что при изменении t на интервале соответствующие точки g, y не выходят за пределы области D.

Тогда x и y не выходят за пределы области D.

Тогда x и y получают некоторые приращения Ах и Du. Таким образом, правая часть равенства 2 при 0 имеет предел, равный Поэтому существует при При 0 и предел левой части 2 , т.

.

Найдите и jg , если 2. Рассмотрим теперь дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Пусть где в свою очередь так Предположим, что в точке существуют непрерывные частные производные от y, 3? Заметим, что этот случай существенно не отличается от уже изученного. Частные дифференциалы производных сложной функции имеют Здесь t является полным.

Навигация

About Author


Vimi

Comments

  1. Я извиняюсь, но, по-моему, Вы не правы. Предлагаю это обсудить. Пишите мне в PM, поговорим.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *