Рубрика: Что означают коллинеарные векторы

Что означают коллинеарные векторы

Ответ: теорема доказана. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Вспомним определение коллинеарных векторов, которое было дано в статье Векторы - основные определения.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Это определение позволяет установить коллинеарность векторов по их изображению на плоскости с некоторой степенью точности, которая зависит от качества чертежа. Поэтому нам нужно алгебраическое, а не геометрическое условие, выполнение которого будет указывать на коллинеарность двух векторов.

Получим. Поскольку он соответствует сужению или расширению вектора с постоянным или противоположным направлением, то вектор , где - произвольное действительное число, коллинеарен вектору . Обратное утверждение также верно: если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то его можно представить в виде.

Так мы приходим к необходимому и достаточному условию коллинеарности двух ненулевых векторов: для коллинеарности двух векторов и необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенством или.

Перейдем к координатной форме полученного условия коллинеарности двух векторов. Предположим, что вектор задан в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости и имеет координаты , тогда вектор имеет координаты , при необходимости см. статью Операции над векторами в координатах.

Координатная форма. <Аналогично, если вектор задан в прямоугольной системе координат трехмерного пространства в виде , то вектор имеет координаты . Следовательно, для коллинеарности двух ненулевых векторов и на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: или. Для коллинеарности двух ненулевых векторов и в пространстве необходимо и достаточно, чтобы или. Получим еще одно условие коллинеарности двух векторов, основанное на понятии векторного произведения векторов и.

Если в пространстве существуют два ненулевых вектора, то необходимо или достаточно, чтобы или.

Если ненулевые векторы и коллинеарны, то по определению векторного произведения , что эквивалентно равенству . Последнее равенство возможно только в том случае, если векторы и связаны соотношениями или , где , - произвольное действительное число, что следует из теоремы о рангах матриц, указывающей, что векторы и коллинеарны. Таким образом, два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору. Перейдем к применению условий коллинеарности векторов при решении примеров.

Навигация

About Author


Naran

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *