Рубрика: Алгебра логического порядка

Алгебра логического порядка

Математическая логика - это раздел математики, изучающий математическую нотацию, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и другие аспекты оснований математики. Алгебра высказываний Под высказыванием мы понимаем любое утверждение, повествовательное предложение, о котором мы всегда можем определенно и объективно сказать, истинно оно или ложно.

Синонимами слова "высказывание" могут быть: логическое высказывание, булево выражение, суждение, утверждение и т.д. Фраза: "Ура! Ложное высказывание" имеет значение "ложное", которое обозначается другими обозначениями: "O", "NO", "L", "-", "false".

Существует два вида высказываний.

Существуют два вида высказываний: простые и составные сложные высказывания. Под простым мы будем понимать высказывание, которое не может быть разбито на более простые высказывания.

О нем всегда можно однозначно сказать, что оно истинно или ложно, не интересуясь его структурой. Из простых высказываний, используя логические операции, можно построить сложные высказывания, которые всегда только истинны или только ложны.

Утверждения обозначаются заглавными латинскими буквами: сегодня вторник, если студент сдал сессионные экзамены, то он перейдет на следующий курс и получит стипендию.

Логические операции Операции над высказываниями задаются в виде таблиц, называемых таблицами истинности. Отрицание высказывания Для каждого высказывания A может быть сформировано новое высказывание - отрицание высказывания A, которое истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Этот символ соответствует логической связке "не". Отрицание - это унарная или одинарная операция. Последующие операции являются двучленными или бинарными. Например, если высказывание истинно, то отрицание A ложно, или если в комнате холодно", то в комнате не холодно"

. Обратите внимание, что высказывание "в комнате жарко" не является отрицанием B. Конъюнкция высказываний Конъюнкция высказываний A и B - это высказывание, которое истинно только в том случае, если одновременно истинны и A, и B.

Высказывание читается как "A и B". Тогда формула имеет смысл: "12 делится на 3 и на 4". Операцию конъюнкции можно также определить для нескольких высказываний как конъюнкцию высказываний, объединенных связкой "и". Соединение n высказываний представляет собой новое высказывание, которое имеет значение "истинно", если оно истинно. Во всех остальных случаях конъюнкция имеет значение "ложно".

Допустим, например, что отец старше своего сына Мурманск находится севернее Смоленска. Если и отец старше сына, и Мурманск находится севернее Смоленска." - является истинным высказыванием.

<Дисъюнкция высказываний Дисъюнкция высказываний A и B - это высказывание, которое ложно только тогда, когда одновременно ложны и A, и B. Дисъюнкция имеет значение истинности, если хотя бы одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, истинно.

Выражение читается как "A или B". Пусть Тогда операцию дизъюнкции можно определить для нескольких высказываний как связку высказываний, объединенных конъюнкцией "или". В этом случае высказывание А истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в связку. Импликация высказываний Импликация высказываний A и B - это высказывание, которое ложно только тогда, когда A истинно, а B ложно.

Во всех остальных случаях импликация имеет значение "истинно". Символ соответствует логической связке: "если А, то В". Например, А - это "целое число делится на 4, тогда оно делится на 2". Чтобы проиллюстрировать смысл импликации, рассмотрим следующий пример: A "папа завтра получит премию", B "папа завтра купит сыну велосипед". Тогда импликацию можно сформулировать так: "Если папа завтра получит премию, он купит сыну велосипед". Пусть A и B истинны. Тогда папа, получив премию, купит своему сыну велосипед.

Естественно считать, что это истинное высказывание. Когда папа не покупает сыну велосипед, B ложно, а когда он получает премию, A истинно, но это, мягко говоря, не логично, и импликация ложна.

Если папа не получает бонус A - ложно, но покупает велосипед B - истинно, то результат положительный. Если папа не получает бонус A-ложно, но покупает велосипед B-ложно, то результат истинный.

Эквивалентность высказываний Эквивалентность высказываний A и B - это высказывание, которое истинно, когда высказывания A и B оба истинны или оба истинны. Символ логической эквивалентности соответствует конъюнкции "тогда и только тогда". Пусть A - это "число Z".

Навигация

About Author


Kazirg

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *